Bài luận án tiến sĩ ngành Toán học

1. Lý do chọn đề tài

1.1. Luật số lớn nói riêng, các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất nói chung đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn to lớn.

1.2. A.N.Kolmogorov là người xây dựng lý thuyết xác suất bằng phương pháp tiên đề và đã thiết lập luật số lớn nổi tiếng mang tên ông. Luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên tiếp tục được nhiều nhà toán học nhứ J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, H. D. Brunk, Y. V. Prokhorov, K. L. Chung, W. Feller… quan tâm nghiên cứu. Cho đến nay, nghiên cứu luật số lớn vẫn là một vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất.

1.3. Đối với mảng các biến ngẫu nhiên, cấu trúc nhiều chiều của tập các chỉ số làm nảy sinh nhiều vấn đề. Trên tập các chỉ số, quan hệ thứ tự thông thường không có tính chất tuyến tính; ta có thể xây dựng các quan hệ thứ tự khác nhau; các dạng hội tụ có thể được xem xét khi max hoặc min của các tọa độ tiến tới vô cùng… Các đặc điểm đó góp phần tạo nên tính đa dạng của các kết quả nghiên cứu về luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên.

1.4. Các luật số lớn cổ điển chủ yếu tập trung nghiên cứu cho dãy một chỉ số các biến ngẫu nhiên độc lập và nhận giá trị thực. Một hướng phát triển các luật số lớn cổ điển là nghiên cứu về luật số lớn đối với dãy và mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Các kết quả theo hướng nghiên cứu này thường có mối liên hệ chặt chẽ với lý thuyết hình học Banach và tạo ra sự giao thoa giữa lý thuyết xác suất và giải tích hàm.

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên”.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là thiết lập các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach cho các trường hợp: có hoặc không có điều kiện hình học của không gian Banach.

3. Đối tượng nghiên cứu

Luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên

4. Phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu các định lý giới hạn luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên bất kỳ nhận giá trị trong không gian Banach thực và khả ly, mảng phù hợp, mảng hiệu martingale và mảng hiệu martingale theo khối giá trị trong không gian Banach p-khả trơn, mảng các biến ngẫu nhiên độc lập, độc lập theo khối và mảng các biến ngẫu nhiên p-trực giao theo khối  nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher loại p.

Bài luận án tiến sĩ ngành Toán học