Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ
Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ – Dethithu.online xin giới thiệu tới các em học sinh cùng quý phụ huynh Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ để tham khảo chuẩn bị tốt cho bài giảng học kì mới sắp tới đây của mình. Mời các em tham khảo.
Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ
Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 2 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ
Hướng dẫn giải bài tập lớp 10 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ
I.KIẾN THỨC CƠN BẢN
1.Định nghĩa
Cho hai vectơ và khác vectơ . Tích vô hướng của và là một số được ký hiệu là ., được xác định bởi công thức sau :
. = ||.||cos(, )
- Các tính chất của tích vô hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :
Với ba vectơ , , bất kì và mọi số k ta có :
. = . (tính chất giao hoán)
.( + ) = . + . ( tính chất phân phối)
(k.). = k(, ) = .(k)
- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng tọa độ (0; ; ), cho hai vec tơ = (a1 ; a2 ), = (b1 ; b2 ). Khi đó tích vô hướng và là:
. = a1b1 + a2 b2
Nhận xét: Hai vectơ = (a1 ; a2 ), = (b1 ; b2 ) khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
a1b1 + a2 b2 = 0
- Ứng dụng
- a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ = (a1; a2 ) được tính theo công thức:
=
- b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu =(a1; a2 ), = (b1 ; b2 ) khác vectơ thì ta có:
cos(, ) = =
- c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB ) được tính theo công thức :
AB =
- HƯỚNG DẪN LÀM BÀI1.Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng , .
Hướng dẫn giải:
⊥ => = 0
= -. = |-|. ||
Ta có: CB= a√2; = 450
Vậy = -. = -||: ||. cos450 = -a.a√2.
=> = -a2
- Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng biết OA = a, OB = b. tính tích vô hướng của . trong 2 trường hợp
- a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB
- b) Điểm O nằm trong đoạn AB
Hướng dẫn giải:
- a) Khi O nằm ngoài đoạn AB thì hai vec tơ và cùng hướng và góc
(, ) = 0
cos(, ) = 1 nên . = a.b
- b) Khi O nằm ngoài trongđoạn AB thì hai vectơ và ngược hướng và góc
(, ) = 1800
cos(, ) = -1 nên . = -a.b
- Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.
- a) Chứng minh . = . và . = .;
- B) Hãy dùng câu a) để tính . + . theo R
Hướng dẫn
- a) Nối BM
Ta có AM= AB.cosMAB
=> || = ||.cos(, )
Ta có: . = ||.|| ( vì hai vectơ , cùng phương)
=> . = ||.||.cosAMB.
nhưng ||.||.cos(, ) = .
Vậy . = .
Với . = . lý luận tương tự.
- b) . = .
. = .
=> . + . = ( + )
=> . + . = = 4R2
4 Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4;2)
- a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;
- b) Tính chu vi tam giác OAB;
- c) Chứng tỏ rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB
Hướng dẫn:
- a) D nằm trên trục Ox nên tọa độ của D là (x; 0).
Ta có :
DA2 = (1 – x)2 + 32
DB2 = (4 – x)2 + 22
DA = DB => DA2 = DB2
<=> (1 – x)2 + 9 = (4 – x)2 + 4
<=> 6x = 10
=> x = => D(; 0)
- b)
OA2 = 12 + 32 =10 => OA = √10
OB2 = 42 + 22 =20 => OA = √20
AB2 = (4 – 1)2 + (2 – 3)2 = 10 => AB = √10
Chu vi tam giác OAB: √10 + √10 + √20 = (2 + √2)√10.
- c) Ta có = (1; 3)
= (3; -1)
1.3 + 3.(-1) = 0 => . = 0 => ⊥
SOAB = || .|| => SOAB =5 (dvdt)
- Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơvà trong các trường hợp sau :
- a) = (2; -3), = (6, 4);
- b) = (3; 2), = (5, -1);
- c) = (-2; -2√3), = (3, √3);
Hướng dẫn:
- a) cos(; ) = = 0
=> (; ) = 900
- b) cos(; ) = =
=> (; ) = 450
- c) cos(; ) = =
=> (; ) = 1500
- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm :
A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0;-2).
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Hướng dẫn:
Ta có: = (1; 7); = (1; 7)
= => ABCD là hình bình hành (1)
ta lại có : AB2 = 50 => AB = 5 √2
AD2 = 50 => AD = 5 √2
AB = AD, kết hợp với (1) => ABCD là hình thoi (2)
Mặt khác = (1; 7); = (-7; 1)
1.7 + (-7).1 = 0 => ⊥ (3)
Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông
