Giải bài tập Đại Số và Giải Tích lớp 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Giải bài tập Đại Số và Giải Tích lớp 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học – Dethithu.online xin giới thiệu tới các em học sinh cùng quý phụ huynh Giải bài tập Đại Số và Giải Tích lớp 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học để tham khảo chuẩn bị tốt cho bài giảng học kì mới sắp tới đây của mình. Mời các em tham khảo.
Giải bài tập Đại Số và Giải Tích lớp 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Giải bài tập Đại Số và Giải Tích lớp 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Hướng dẫn giải bài tập lớp 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Bài 1. (Hướng dẫn giải trang 82 SGK Giải tích 12 cơ bản)
Chứng minh rằng với n ε N*, ta có đẳng thức:
- a) 2 + 5+ 8+…. + 3n – 1 =
- b)
- c) 12+ 22+ 32 +….+ n2 = Hướng dẫn giải:
- a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng
= 2
Vậy hệ thức a) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = k(3k+1)/2
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) = Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = k(3k+1)/2 + 3k + 2
=
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ε N*
- b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là Ta phải chứng minh
.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
= (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N*
- c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 = Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = = (k + 1).= (k + 1).
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ε N*
Bài 2. (Hướng dẫn giải trang 82 SGK Giải tích 12 cơ bản)
Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
- a) n3+ 3n2+ 5n chia hết cho 3;
- b) 4n+ 15n – 1 chia hết cho 9;
- c) n3+ 11n chia hết cho 6.
Hướng dẫn giải:
- a) Đặt Sn= n3+ 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 chia hết 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk chia hết 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) chia hết
3 nên Sk+1 chia hết 3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) chia hết 3 với mọi n ε N* .
- b) Đặt Sn= 4n+ 15n – 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 chia hết 9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k – 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1m chia hết 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk chia hết 9 nên 4S1 chia hết 9, mặt khác 9(5k – 2) chia hết 9, nên Sk+1 chia hết 9
Vậy (4n + 15n – 1) chia hết 9 với mọi n ε N*
- c) Đặt Sn= n3+ 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 chia hết 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k chia hết 6
Ta phải chứng minh Sk+1 chia hết 6
Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
THeo giả thiết quy nạp thì Sk chia hết 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) chia hết6, do đó Sk+1 chia hết 6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .
